Modelo cinemático v2

Fig. 1: Localización del vehículo sobre el plano.

"La cinemática es el estudio del movimiento del vehículo sin considerar las fuerzas que lo ocasionan"

Su análisis se basa en las variables de posición junto con sus derivadas (velocidad, aceleración, etc.). Existen dos enfoques dentro de la cinemática, llamados cinemática directa y cinemática inversa.

En la robótica móvil la cinemática directa puede verse como una transformación que mapea pares de trayectorias de velocidad

  del vehículo, en trayectorias recorridas por el vehículo en el espacio cartesiano, es decir:

En donde:

     v(t)   = velocidad lineal del punto medio del vehículo.

     w(t)  = velocidad angular del punto medio del vehículo.

    wd(t) = velocidad angular de la rueda derecha.

    wi(t)  = velocidad angular de la rueda izquierda.

      r      = radio de las ruedas.

      l      = distancia de la separación entre el eje medio del vehículo y a rueda de tracción.

La velocidad lineal v está formada por las proyecciones de v según los ejes X e Y. La velocidad angular w es igual a la razón de cambio de fi con respecto al tiempo, la cual se denota como la derivada de fi . Así se describen de la siguiente forma:

El siguiente paso es realizar una derivación de las ecuaciones anteriores para encontrar la relación de v y w con las velocidades angulares wi y wd.  Únicamente se consideran las llantas traseras del móvil y se supone que sobre cada una de estás actúa una fuerza izquierda y una derecha que proporcionan las velocidades de cada lado. Además se encuentra la masa de cada llanta y se calcula la energía cinética del sistema. Posteriormente se entra en detalle en el área de la mecánica clásica, y mediante la teoría de LaGrange se encuentran las ecuaciones de movimiento del sistema físico. Para observar con más a detalle este proceso se recomienda revisar el documento Análisis Cinemático, Dinámico y Control en Tiempo Real de un Vehículo Guiado Automáticamente de José Felipe Camarena García.

Es así como se encuentran que las ecuaciones de movimiento están dadas por:

Puesto que el vector de fuerza derecho y el izquierdo son las fuerzas que actúan sobre las llantas también proporcionan las velocidades de cada lado:

Donde la velocidad izquierda y derecha, son las magnitudes de aceleraciones de las llantas izquierda y derecha, respectivamente. En seguida se realiza una integración con respecto al tiempo y se encuentra que:

Donde C son constantes de integración.

Finalmente en las velocidades angulares de las llantas izquierda y derecha la condición de rodadura sin deslizamiento es equivalente a imponer que:

de donde se obtiene que las ecuaciones del modelo cinemático cuando las constantes de integración son iguales a cero. Estás últimas están dadas por:

Camarena García, J. (2009, Dicembre 16). Análisis Cinemático, Dinámico y Control en Tiempo Real de un Vehículo Guiado Automáticamente. Recuperado el 26 de abril de 2015, de sitio web http://www.cenidet.edu.mx/subaca/web-mktro/submenus/investigacion/tesis/52 José Felipe Camarena García.pdf